積と商の微分公式

積と商の微分公式を証明する。微分の定義

[[ f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} ]]

を使う。

積の微分公式

[[ \bigl\{ f(x)g(x) \bigr\}^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) ]]

この公式を証明する。この式の左辺は

[[ \bigl\{ f(x)g(x) \bigr\}^{\prime} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} ]]

一方、右辺は

[[ \begin{array}{rl} f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}\frac{ \bigl\{ f(x+h)-f(x) \bigr\} g(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0}\frac{f(x) \bigr\{ g(x+h)-g(x) \bigr\} }{h} \cr\cr &=& \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \cr\cr &=& \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \end{array} ]]

すなわち、左辺と右辺が一致するため、積の微分公式が証明された。

商の微分公式(1)

[[ \biggl\{ \frac{1}{g(x)} \biggr\}^{\prime} = -\frac{g^{\prime}(x)}{ \bigl\{ g(x) \bigr\}^2} ]]

この式を証明する。

[[ \begin{array}{rl} \biggl\{ \frac{1}{g(x)} \biggr\}^{\prime} &=& \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h} \cr\cr &=& \lim_{h \to 0}\frac{g(x)-g(x+h)}{g(x) g(x+h) h} \cr\cr &=& -\frac{1}{ \bigl\{ g(x) \bigr\}^2} \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \cr\cr &=& -\frac{g^{\prime}(x)}{ \bigl\{g(x) \bigr\}^2} \end{array} ]]

以上で証明された。

商の微分公式(2)

[[ \biggl\{ \frac{f(x)}{g(x)} \biggr\}^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{ \bigl\{ g(x) \bigr\}^2} ]]

$ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} $より、積の微分公式を適用する。

[[ \begin{array}{rl} \biggl\{\frac{f(x)}{g(x)} \biggr\}^{\prime} &=& f^{\prime}(x) \biggl\{ \frac{1}{g(x)} \biggr\} + f(x)\biggl\{ \frac{1}{g(x)} \biggr\}^{\prime} \cr\cr &=& \frac{f^{\prime}(x)}{g(x)} + f(x)\biggl[ -\frac{g^{\prime}(x)}{ \bigl\{ g(x) \bigr\}^2} \biggr] \cr\cr &=& \frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{ \bigl\{ g(x) \bigr\}^2} \end{array} ]]

以上で証明された。