積と商の微分公式の簡単な証明方法（条件付き）

積と商の微分公式について、以前は微分の定義から証明したが、yがxで微分可能な関数であって常に y>0 であるときに、xで微分することをプライム(‘)であらわすと

[[ (\log y)^{\prime} = \frac{y^{\prime}}{y} ]]

となることを使えば、より簡単に証明できる（log は自然対数）。微分可能であることに加えて、関数の値域が常に正であるという条件がつく（対数を取ることを可能とするため）のであまり証明としては優秀ではないが、忘れてしまった公式を思い出す手段としては便利であろう。

ここで上式は、$ u = \log y $ とすると

[[ (\log y)^{\prime} = \frac{du}{dx} = \frac{du}{dy}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{y^{\prime}}{y} ]]

となることから示される。

積の微分公式

fとgがxの関数で、xについて微分可能でxがどのような値であっても常に正 (f>0, g>0) のとき、

[[ y = fg ]]

の導関数を考える。両辺の自然対数を取って

[[ \log y = \log (fg) = \log f + \log g ]]

両辺をxで微分すると

[[ \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{f^{\prime}}{f} + \frac{g^{\prime}}{g} ]]

となり、両辺に y = fg をかけると

[[ y^{\prime} = f^{\prime}g + fg^{\prime} ]]

となる。これが積の微分公式（ただし f>0, g>0 の条件つき）である。

商の微分公式

fとgがxの関数で、xについて微分可能でxがどのような値であっても常に正 (f>0, g>0) のとき、

[[ y = \frac{f}{g} ]]

の導関数を考える。両辺の自然対数を取って

[[ \log y = \log \frac{f}{g} = \log f - \log g ]]

両辺をxで微分すると

[[ \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{f^{\prime}}{f} - \frac{g^{\prime}}{g} ]]

となり、両辺に $ y = \frac{f}{g} $ をかけると

[[ y^{\prime} = \frac{f^{\prime}}{g} - \frac{f g^{\prime}}{g^2} = \frac{f^{\prime}g - f g^{\prime}}{g^2} ]]

となる。これが商の微分公式（ただし f>0, g>0 の条件つき）である。